Jarno Elonen <elonen@iki.fi>, 31.5.2007 (versio 1.2)
Hyvä lukija,
Olen kirjoittanut nämä muistiinpanot alunperin itselleni ja julkaisen ne nyt yksinkertaisesti siltä varalta, että niistä sattuisi olemaan jollekulle muullekin jotain iloa.
Kyseessä ei ole oppikirja vaan asioita on jätetty pois, oiottu ja yksinkertaistettu sen mukaan miten olen niitä itse katsonut tarvitsevani ja kuinka hyvin olen muistanut asiat entuudestaan. Tarkoituksena on ollut lähinnä luetteloida erilaisten ongelmien ratkaisutapoja käytännön (tietotekniikka-)insinöörintyötä ajatellen eikä niinkään osoittaa tai johtaa niitä. En myöskään väitä ymmärtäväni kaikkea kirjoittamaani – mikä on tietysti harmi, sillä matematiikka on kiinnostavaa vaikka ainakin itselläni muut työt ovat aina vieneet ajan ja energian paneutua siihen kunnolla.
Tekstiä saa kopioida, muokata ja vaikka myydä vapaasti kunhan minut mainitaan alkuperäisen version toimittajana ja kerrotaan, että alkuperäinen on vapaasti kopioitavaa materiaalia. Uusin versio löytyy osoitteesta:
http://iki.fi/elonen/articles/insimat/
Valituksille finglishistä ja muista muotoseikoista en luultavasti lotkauta korvaanikaan ellei valitusten mukana tule korjaustiedostoa, sillä tämän dokumentin päivittämiseen käytetty aika on aina pois muilta töiltä. Tekstiin on epäilemättä kuitenkin jäänyt myös varsinaisia asiavirheitä – niistä saa mielellään huomauttaa sähköpostitse. GNU Diff:llä muodostetut korjaustiedostot suoraan .tm-tiedostoon ovat tietysti vieläkin tervetulleempia.
–
Jarno Elonen
Sisältö 6
1Lineaarialgebra 6
1.1Matriisien perusteet 6
1.1.1Tulo 6
1.1.2Käänteismatriisi 7
1.1.3Lineaarialgebran derivointisääntöjä 7
1.1.4Gaussin eliminaatio 7
1.1.5Determinantti 8
1.1.6Kanta 9
1.1.7Gram-Schmidt-ortonormalisointi 9
1.1.8Ominaisarvot ja -vektorit (eigenvalues & vectors) 9
1.1.9Matriisifunktiot 10
1.2Vektorit ja analyyttinen geometria 10
1.2.1Vektoritulot 10
1.2.2Suora 11
1.2.3Taso 11
1.2.4Tetraedri 11
1.2.5Projektio 12
1.3Homogeeniset koordinaatit 12
1.3.1Ideaalipisteet, -suorat ja tasot 12
1.3.2Duaalisuus ja lauseiden dualisointi 12
1.4Kuvaukset (transformaatiot) 12
1.4.1Lineaarikuvaus 12
1.4.2Affiniteetti (affinikuvaus) 13
1.5Matriisien sekalaisia sovelluksia 13
1.5.1Pienimmän neliösumman sovitus (least squares fit) 13
1.5.2Markovin ketjut 13
2Differentiaalilaskentaa yleisesti 14
2.1Differentiaali 14
2.2Jacobian-matriisi 14
2.3Monen muuttujan ketjusääntö 14
3ODEt - ”tavalliset” differentiaaliyhtälöt 15
3.1Peruskäsitteitä 15
3.2Yksittäisen ODEn tarkka ratkaiseminen 15
3.2.1Separoituva: integrointi puolittain 15
3.2.2Tasa-asteinen: muuttujan vaihto 15
3.2.3Eksakti: osittaisderivointi 15
3.2.4Eksaktiksi muuttaminen: integroiva tekijä 16
3.2.51. kertaluvun lineearinen ODE: yleinen ratkaisu 16
3.3Yksittäisen yhtälön likiarvoratkaisut 16
3.3.1Suuntakenttä - erikoisratkaisu graafisesti 16
3.3.2Picardin iteraatio - approksimoiva algebrallinen erikoisratkaisu 16
3.42. asteen ODE 17
3.51. asteen lineearinen homogeeninen ODE-ryhmä 17
3.5.1Vaihekuvaaja 17
3.6Laplace-muunnos 18
4Sarjat 19
4.1Suppenemisen testaus 19
4.2Yleisimpiä sarjoja 20
4.3Potenssisarjat 20
4.4Fourier-sarja 20
5Monen muuttujan analyysi 21
5.1Avaruuspinta 21
5.2Raja-arvo 21
5.3Monen muttujan funktion differentiaalit 21
5.3.1Osittaisderivaatta 21
5.3.2Gradientti ja suunnattu derivaatta 21
5.4Napakoordinaatisto 22
5.5Monen muuttujan ääriarvotehtävät 22
5.5.1Ääriarvopisteiden luokittelu (Hessian) 22
5.5.2Rajoitetut ääriarvotehtävät (Lagrange-kertoimet) 22
6Skalaari- ja vektorikentät 22
6.1Viivaintegraali 23
6.1.1Greenin lause (suljetun käyrän viivaintegraali) 23
6.1.2Stokesin lause (moniulotteiset pinnat) 24
6.2”Vektoriderivaatat” - grad, div, curl 24
6.3Divergenssilause (aka. Gaussin laki) 24
7Kompleksiluvut 26
7.1Kompleksiset funktiot 26
8Abstrakti algebra 27
8.1Ryhmät (groups) ja monoidit (monoids) 27
8.2Renkaat (ring) ja kunnat (field) 28
8.3Polynomirenkaat 29
8.4Kooditeoria 30
9Kombinatoriikka 31
9.1Permutaatiot ja kombinaatiot 31
9.2Inkluusio-ekskluusio-periaate 31
9.3Binomi- ja multinomikertoimet 32
9.4Generoivat funktiot eli emäfunktiot 32
9.5Tornipolynomit (rook polynomials) 34
9.6Differenssiyhtälöt eli rekursiot 35
9.6.1Lineaariset ja vakiokertoimiset 35
9.6.2Ratkaisu emäfunktioilla 36
9.7Permutaatioryhmät ja ekvivalenssiluokat 36
10Jaollisuus ja moduloaritmetiikka 39
10.1Jaollisuussääntöjä 39
10.1.1Suurin yhteinen tekijä (GCD) ja pienin yhteinen jaettava (LCM) 39
10.1.2Lineaariset Diophanteen yhtälöt 40
10.2Kongruenssi eli moduloaritmetiikka 40
10.3Suuret alkuluvut 41
10.3.1RSA-salakirjoitus 41
11Graafit 42
11.1Lauseita 42
11.2Algoritmeja (ei-negatiivisesti) painotetuille graafeille 43
11.3Kaksijakoinen graafi (bipartite graph) 43
12Sekalaisia laskutekniikoita 44
12.1Induktiotodistus 44
12.2Neliöksi täydentäminen 44
12.3Osamurtokehitelmä 45
12.3.1Tapa 1: :n valitseminen strategisesti 46
12.3.2Tapa 2: yhtälöryhmä eri asteisista termeistä 46
12.3.3Tapa 3: Heavisiden peittomenetelmä 46
12.4Logaritmi 47
12.5Raja-arvo 47
12.6Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia 48
13Merkintätapoja 48
13.1Tavalliset lukujärjestelmät 48
13.2Kreikkalaiset kirjaimet 48
Hakemisto 49
Tässä kappaleessa käsitellään lähinnä reaalisia avaruuksia mutta suurin osa kohdista pätee myös myös kompleksisille avaruuksille tai vaikka alkiot olisivat funktioita (funktioavaruus). Oleellista on vain, että alkiot toteuttavat lineaarialgebran aksioomat, joiden mukaan mm. täytyy löytyä nolla-alkio ja ykkösalkio, jokaiselle alkiolle täytyy olla vasta-alkio, alkion kertominen skalaarilla täytyy kommutoida yms.
matriisin normi on mikä tahansa eräät ehdot täyttävä skalaari-”mittari” matriisille. Tässä kolme tärkeintä (vastaavista vektorinormeista johdettua) matriisinormia:
Matriisien tulo tapahtuu "kertomalla rivit sarakkeisiin" ja :ssä, :n korkeus on :n korkeus ja leveys :n leveys. Jos :n leveys :n korkeus, tulo on määrittelemätön. Esim:
Toisin sanoen: matriisivektori -operaatio on siis matriisin leveys -kokoisen vektorin kuvaus matriisin korkeus -kokoiseksi vektoriksi.
Pystyvektorien pistetulo cos(
Määritelmä: . Vain neliömatriiseilla voi olla käänteismatriisi ja niilläkin vain joss sarakkeet/rivit ovat lineaarisesti rippumattomia (sama asia). Sääntöjä:
Käänteismatriisin voi laskea Gauss-Jordan-algoritmilla (ks. alempana)...
...tai hitaasti determinantin (ks. alempana) avulla (Cramerin sääntö):
2x2-kokoiselle matriisille Cramerin sääntö tosin on vielä selvästi helpompi: .
Perussääntöjä:
Matriisilausekkeiden derivaattoja vektorin suhteen:
Yhtälöryhmä kirjoitetaan matriisiksi...
...ja väännetään sitten yläkolmiomuotoon vähentämällä "nykyinen" rivi alemmista riveistä aina kerrottuna ylänurkan sopivasti kerrotulla tukialkiolla...
...ja soveltamalla sitten alhaalta ylöspäin peräkkäisiä sijoituksia tai toistamalla eliminointi alhaalta ylös, jolloin saadaan yksikkömatriisi (kuten Gauss-Jordan:ssa). Huom:
Determinantti on neliömatriisin vektorien määräämän suoran/suunnikkaan/särmiön pituus/ala/tilavuus (ja vastaava luku moniulotteisemmille avaruuksille). Yksinkertaisin tapaus, -determinantti on helppo laskea: . Yleisiä sääntöjä:
Ison determinantin voi laskea vääntämällä se Gaussin algoritmilla yläkolmiomuotoon ja laskemalla lävistäjän tulo...
...tai hitaammin alideterminanttikehitelmän avulla minkä tahansa rivin tai sarakkeen suhteen...
...missä termien etumerkit määräytyvät elementin koordinaateista näin:
Vektorien ristitulo =||sin(, missä .
Avaruuden kanta (koordinaatisto) muodostuu mistä tahansa :stä, lineaarisesti riippumattomasta vektorista. Luonnollinen kanta on "tavallinen koordinaatisto" . Kannan vaihto luonnollisesta kantaan on...
...eli tehdään kantamatriisi pystyvektoreista ja ratkaistaan - tai jos halutaan kannanvaihtomatriisi, lasketaan :n käänteismatriisi.
Kanta on ortonormaali, jos sen kaikki vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja jokainen vektorin on :n mittainen (kuten luonnollisella kannalla). Minkä tahansa kannan voi pakottaa ortonormaaliksi Gram-Schmidt ortonormalisointi-algoritmilla. Sitä käytetään erityisesti numeerisessa laskennassa hieman ”epävireeseen” menneen kannan korjaamiseen. Merkitään alkuperäisiä vektoreita ja uusia :
Neliömatriisin ominaisarvon määritelmä: , eli koska :lla transformointi ei muuta ominaisvektorin suuntaa (paitsi ehkä negatoi), transformaation voi (kaikille :n suuntaisille vektoreille) tiivistää skalaariksi: ominaisarvoksi . Koska , löytää ominaisarvot ratkaisemalla ja -vektorit ratkaisemalla tuloksen perusteella yhtälöryhmä . Siis:
Matriisin on diagonalisoituva, jos sillä on ominaisarvoa. Diagonalisoitu matriisi on koottu ominaisarvoista: . Vastaavasti sen similariteettimuunnos(-matriisi) on koottu ominais(pysty)vektoreista . Matriisit ja ovat similaariset, jos on olemassa siten, että , joten ja ovat aina similaariset: . Esimerkki ominaisarvojen laskemista, diagonalisoinnista ja similaarisuuden hyödyntämisestä on seuraavassa kappaleessa.
Matriisifunktiot on määritelty -neliömatriisille seuraavasti:
...josta :t voi laskea ominaisarvojen avulla, sillä:
Toisaalta, jos ominaisarvot eivät ole moninkertaisia (onko välttämätön ehto?), voi saman laskea diagonalisoinnin avullakin:
Tällä tavalla voidaan laskea esim. matriisieksponentti , , mielivaltaisen suuri matriisipotenssi tai vaikka neliöjuurimatriisi (). Esimerkki:
Huom: matriisin derivaatta ja integraali lasketaan kuitenkin ottamalla ne erikseen jokaiselle alkiolle.
Pistetulo eli skalaaritulo eli sisätulo cos(.
Ristitulo eli vektoritulo on määritelty vain 3-vektoreille:
(Huom: sanotaan, että ristitulomatriisi saadaan :sta ristioperaattorilla)
Särmiön tilavuus: , tetraedrin tilavuus: .
Huom: alat voi laskea myös determinantilla: .
Normaalimuoto: koska jokainen :sta pisteeseen johtava vektori on kohtisuorassa normaalia vastaan, on :ssa:
eli eli , missä ovat :n komponentit ja on normaalin ja :n pistetulo (eli :n projektio :lle, suoran siirto origosta).
Painopistekoordinaatit: , missä
Jos , piste on :n ja :n välissä. Keskipisteessä .
Avaruudessa suoran voi esittää parametrimuodossa tai kahden tason leikkauksena:
Normaalimuoto: koska jokainen :sta pisteeseen johtava vektori on kohtisuorassa normaalia vastaan, on (:ssa!): eli eli
, missä ovat :n komponentit ja on normaalin ja :n pistetulo.
Painopistekoordinaatit: vektoreilla tai , missä .
Annetun pisteen sijainnin -pisteiden muodostamaan kolmioon nähden voi päätellä painokertoimien merkistä - kolmion sisällä se on "". Kolmion painopisteessä .
Kun kärkipisteistä johdetaan kolme särmävektoria saadaan sekä kanta, että auki kertomalla painopistekoordinaattiesitys:
, missä . Kuten 3D-tason ja 2D-suoran tapauksissakin, painopisteessä on ja annetun pisteen paikan tetraedrin suhteen voi päätellä :n etumerkeistä – tetraedrin sisällä se on "".
projektiivinen taso, projektiivinen avaruus, Pappuksen lause, projektiviteetti, kiintopiste
Euklidisen tason pistettä vastaa projektiivisen tason piste, eli homogeeninen koordinaatti . Grafiikkakirjoissa ylimääräinen ("nollas") elementti kirjoitetaan usein viimeiseksi: [x,y,w].
Sekä affinitransformaatiot (siirto, peilaus, rotaatio, skaalaus, skew) että projektio ovat homogeenisissa koordinaateissa palautettavissa (projektiossa aiheuttaa tavallisen pisteen muuttumisen idaalipisteeksi, ideaalipisteen muuttumisen tavalliseksi ja lopuissa koodautuu :hen) – siitäkö lienee nimi "projektiivinen taso"? Molemmat voidaan esittää esim. :n tapauksessa -matriisilla.
Pystyvektorilla esitetään pisteitä ja vaakavektorilla (transponoiduilla) suoria: . Suoran tavallinen yhtälö on . Ideaalipisteet ovat kuviteltuja "äärettömän kaukana sijaitsevien samansuuntaisten suorien leikkauksia", toimivat laskennassa aivan kuten muutkin pisteet ja sijaitseva ideaalisuoralla (tai projektiivisessa avaruudessa ideaalitasolla).
Projektiivisen tason pisteet ja suorat ovat duaalisia eli niitä koskevissa lauseissa sanan "suora" ja "piste" (:ssa "taso" ja "piste") voi vaihtaa keskenään (eli lause voidaan dualisoida):
Lineaarikuvaus tai tuttavallisesti matriisikertolasku (ilman homogeenisia koordinaatteja), on määritelty kahdella ehdolla:
Lineaarikuvauksen ydin (kernel) on :n ratkaisujoukko.
Yleisiä lineaarikuvauksia:
Kierto (rotaatio): rotaatiomatriisilla ortogonaalisella matriisilla on aina (oikeakätinen, vasenkätinen) ja yksi ominaisarvo . Kyseistä ominaisarvoa vastaava ominaisvektori on rotaatioakseli (koska :n ominaisvektori = vektori, jonka suunta ei muutu :llä kerrottaessa). Toisaalta on:
Affiniteetti on kahden tason () tai avaruuden () välinen kuvaus . Tasot/avaruudet, jotka saadaan affiniteetilla toisistaan ovat affinisia.
Suunnikkaan pinta-ala tai yhdensuuntaissärmiön tilavuus kertoutuvat affinikuvauksessa :lla.
Projektiivisessa avaruudessa/tasossa affiniteetin voi kuvata matriisikertolaskulla:
Jos yritetään sovittaa -kertoiminen funktio liian moneen havaintoon ( kappaletta, ), saadaan sijoittamalla havainnot polynomiin ylimäärätty yhtälöryhmä: , missä =sijoittamalla saadut kertoimet, ja funktion havaitut arvot. Pienimmän neliosumman sovitus: haetaan :lle neliömatriisi , :lle pienempi vektori ja ratkaistaan tavalliseen tapaan.
Markovin ketju (Markov Chain) on joukko tiloja, joiden välisten siirtymien todennäköisyys ei riipu toteutuneesta siirtymä-historiasta. Yksi kätevä esitystapa on stokastinen matriisi: neliömatriisi, jossa jokaisen rivin summa on 1. Esim:
Lyhyt mies saa lyhyen pojan todenäköisyydellä 0.75 ja pitkän todennäköisyydellä 0.25. Pitkä taas saa lyhyen todennäköisyydellä 0.1 ja pitkän varmuudella 0.9. Lyhyitä ja pitkiä on aluksi saman verran: . Stokastinen matriisi . Toisen sukupolven jakauma on , kolmannen sukupolven jakauma on jne.
Stokastisella matriisilla on aina ominaisarvo 1 ja stabiili tila äärettömän monen siirtymän jälkeen voidaan laskea diagonalisoimalla.
Differentiaali on funktion linearisaation (yhden muuttujan funktion tapauksessa tangentin, kahden tapauksessa 3D-tason jne.) kasvun määrä muuttujansa/muuttujiensa muutoksen suhteen. Esim. . Jos , saadaan kaavasta eli . Siksi voidaan kirjoittaa . Huom: differentiaalin ei välttämättä tarvitse olla pieni, koska kyse on linearisaation kasvusta (siis esim. eikä )!
Kahden muuttujan tapauksessa differentiaali on määritelty osittaisderivaattojen avulla seuraavasti: eli ja samalla tavalla useammille muuttujille.
Differentiointi (vs. derivointi) tarkoittaa differentiaalin (siis esim. ) laskemista ja siinä käytetään derivointia (tai osittaisderivointia) ja jos halutaan arvo, eikä kaavaa, :n muutos (). Esim. jos , niin
Jacobian-matriisi on usean muuttujan vektoriarvoisen funktion derivaatta eli käytännössä matriisi, joka sisältää funktion tulosvektorin jokaisen elementin ( kpl.) derivaatat jokaisen sisääntulevan vektorin elementin ( kpl.) suhteen:
Jacobian-matriisille mm. pätee ketjusääntö .
Huom! älä sekoita Jacobian-matriisia yhtälöryhmien implisiittisessä derivoinnissa käytettävään Jacobian-determinanttiin .
Yhden muuttujan ketjusäännön yleistettyjä versioita:
Jos ja ja riippuvat molemmat muuttujasta (eli ), on:
Jos ja riippuuvat kahdesta muuttujasta (eli ), on:
Tiivistelmä: lineaariselle, 1. asteen ODElle on ratkaisukaava, samoin kuin (vakiokertoimiselle) ryhmälle niitä. Muissa tapauksissa Laplace-muunnos on usein kätevin tapa ellei likiarvoratkaisu riitä.
Tässä kappaleessa käytetään vapaana muuttujana välillä :ää ja välillä :ta – älä hämäänny. Kirjain on yleinen käytäntö, koska differentiaaliyhtälöitä käytetään usein ajasta riippuvien ilmiöiden mallintamiseen.
ODE on separoituva, jos ja ovat erotettavissa eri puolille yhtälöä kohtelemalla differentaalia :n :n osamääränä:
Kun molemmat puolet on integroitu, ratkaistaan . Toisinaan vakiofunktio tuotta, esim. tapauksessa: kun . (Huom: separoituva ODE on itse asiassa eksaktin ODE:n erikoistapaus )
ODE on tasa-asteinen, jos sen voi saattaa muotoon , jolloin sen voi ratkaista vaihtamalla :n ja :n seuraavasti:
Vaihdon jälkeen yhtälö on separoituva. Ratkaistaan saadusta yhtälöstä , sijoitetaan takaisin ja ratkaistaan . Huom. triviaaliratkaisu: , jos .
ODE on eksakti, jos se on muotoa eli eli ja on olemassa funktio , jolle .
Jos ja ovat tiedossa, eksaktiuden voi tarkistaa kaavalla eli (kyllä, derivaatat "menevät ristiin" aiemman kanssa) ja ratkaista seuraavasti:
Lopuksi ratkaistaan yhtälöstä . Ideana on siis soveltaa peräkkäin
Jos ODE:n voi muuttaa eksaktiksi kertomalla funktiolla , on ODE:n integroiva tekijä. Sellaisen voi löytää systemaattisesti jos se riippuu vain joko :stä tai :stä:
Sekä :stä että :stä riippuvia tekijöitäkin voi olla, mutta niitä ei tällä kaavalla löydä.
Homogeeninen (, ts. ei :stä riippumattomia termejä) separoituu. Yleinen ratkaisu: ja vakiokertoimiselle (): , missä on mielivaltainen vakio (integrointivakio). Johto:
Valitaan sopiva ruudukollinen , ratkaistaan ODEsta kullekin ruudukon pisteelle ja piirretään vastaava nuoli tai viiva. Alkuarvo-ongelman ratkaisun voi hahmotella seuraamalla kenttää alkuarvopisteestä. Tietokoneella voi käyttää tämän (huonon) ns. Eulerin menetelmän sijaan vaikkapa 4. asteen Runge-Kuttaa.
Isocline (tasa-arvokäyrä) on jokin :n suhteen vakioarvoinen käyrä suuntakentällä (esim. ns. nullcline eli käyrä ).
Picardin iteraatiolla saadaan tarkentuva approksimaatio alkuarvo-ongelman ratkaisulle
...eli joka askeleella integroidaan välillä funktiolle , missä on korvattu :llä ja edellisen iteraation tuloksella.
Ratkaisun olemassaolon testaus suljetulla välillä eli Picardin lause: jos on jatkuva laatikon sisällä, iteraatio suppenee yksikäsitteiseen ratkaisuun välillä .
Muotoa oleva ODE ratkeaa muuttujaa vaihtamalla: . Korkeamman asteen ODEn voi tällä tavalla muuttaa ensimmäisen asteen ODE-ryhmäksi jonka voi sitten ratkaista vaikka Laplace-muunnoksella tai ominaisarvojen avulla. Esim:
Toisen asteen homogeenisessa tapauksessa: .
Ryhmä voidaan esittää matriisimuodossa:
Matriisin sarakkeet ovat ryhmän erikoisratkaisuja ja kun on vektorillinen alkuarvoja, on alkuarvo-ongelman ratkaisu. Yleinen ratkaisu saadaan myös suoraan ominaisarvoista ja -vektoreista jos ne ovat erillisiä (ei-moninkertaisia) tai on symmetrinen:
...missä ovat mielivaltaisia vakioita, matriisin ominaisarvoja ja niitä vastaavia ominaisvektoreita. Kaksinkertaisen ominaisarvon tapauksessa toinen ratkaisu saadaan kaavalla , missä ja . (Epäselvää: onko varmasti ?)
Epähomogeenisessa tapauksessa ja erikoisratkaisun saa kaavalla . (Epäselvää: saako yleisen ratkaisun lisäämällä ja mikä silloin on ?) Yleisen saa (muun muassa) ODE:n diagonalisointimenetelmällä: ratkaistaan ensin uuden yhtälöryhmän, ( on :n diagonalisoitu versio eli ominaisarvomatriisi ja , missä on vastaavista ominaispystyvektoreista koottu matriisi), diagonalisoinnin ansiosta nyt toisistaan riippumattomat, yhtälöt yksittäisen yhtälön ratkaisukaavalla (tai vaikka Laplace-muunnoksella) ja sitten “epädiagonalisoidaan” tulos: .
Kahden muuttujan lineaariselle 1. asteen ODE-ryhmälle voidaan piirtää kaksiulotteinen vaihekuvaaja, jossa on parvi erikoisratkaisukäyriä: . Kohtia, joissa sanotaan tasapainopisteiksi (myös: kriittinen piste). Homogeenisessä tapauksessa piste on aina . Tasapainopisteiden luokittelu riippuu :n ominaisarvoista:
ODEn linearisointi mahdollistaa myös epälineaarisen ODEn tasapainopisteiden luokittelun: yhtälöiden tasapainopiste luokitellaan matriisin mukaan em. tavalla paitsi, että 1) ympyräpisteet voivat olla myös spiraaleja ja 2) tapaus voi olla joko spiraali tai napa.
Laplace-muunnoksessa differentiaaliyhtälö (tai -ryhmä) muunnetaan ensin aika-alueesta s-tasoon (kirjoitetaan: ), ratkaistaan sitten saadusta yhtälöstä F ja tehdään lopuksi käänteismuunnos (kirj. ). Usein käänteismuunnosta varten tarvitaan osamurtokehitelmää. Tulos pätee (tässä annetulla määritelmällä) vain alueella ! Alla muutamia tärkeimpiä muunnoksia:
:n määritelmä | |||
Derivointi | |||
2. derivaatta | |||
Määrätty integraali | |||
Derivointi taajuusalueessa | |||
:n skaalaus | |||
Konvoluutio, | |||
Konvoluutiolause toiseen suuntaan | |||
1 | Diracin delta”funktio”, | ||
Heavisiden askelfunktio () | |||
Siirto taajuusalueessa | |||
Aikasiirto, huomaa ! | |||
huom: | |||
Esimerkki: ratkaistaan yksinkertainen epähomogeeninen ODE:
Koska sarja voidaan tulkita jonon osasummasarjan raja-arvoksi äärettömyydessä, saadaan raja-arvon laskusäännöistä (kun ja ):
Suppenemista voi testata helpommin kuin laskea summan, ja positiivis-termisen sarjan suppeneminen on helpompi laskea kuin vaihtelevatermisen. Jos :
Molemmille sarja suppenee, jos , saattaa hajaantua, jos ja hajaantuu varmasti, jos . Luku on olemassa useammin kuin , mutta kun molemmat ovat olemassa, on .
Jos taas summassa on sekä positiivisia että negatiivisia termejä, se suppenee ainakin jos suppenee (suppenee absoluuttisesti), ja toisinaan muulloinkin (suppenee ehdollisesti). Erityisesti: (eli joka toinen termi negatiivinen) suppenee, jos ja (Leibnizin lause).
. Perättäisten termien osamäärä on vakio.
Suppenee arvoon , kun . Osasumma .
Potenssisarja on muotoa , missä on sarjan suppenemiskeskus.
Potenssisarja suppenee aina ja vain suppenemiskeskuksensa ympäristössä säteellä (), missä (kts. ”osamäärätesti” ylempää). Päätepisteet voivat joko kuulua tai olla kuulumatta :n määräämään suppenemisintervalliin.
Yhteenlaskettujen potenssisarjojen suppenemissäde on . Sama pätee myös keskenään kerrotuille potenssisarjoille (Cauchyn tulo):
Huom: Taylorin sarja on potenssisarja, jolle .
Erityisen tärkeä (geometrinen/Taylorin/McLaurinin) potenssisarja on:
t
Määritelmä: -jaksoisen funktion Fourier-sarja (alueella ) on:
...tai kompleksimuodossa lyhyemmin:
Kahdella muuttujalla parametrisoitu avaruuspinta:
Normaali:
Pinta-ala lasketaan seuraavasti:
N:n muuttujan funktion gradientti on -ulotteinen vektori, joka on koottu funktion osittaisderivaatioista. Gradienttia merkitään nabla- eli del-symbolilla:
Kahden muuttujan funktioiden tasa-arvokäyriä voi toisinaan esittää kätevästi napakoordinaateilla. Muunnokset karteesisten ja napakoordinaattien välillä sujuvat seuraavilla kaavoilla:
Ääriarvopisteitä voivat myös monen muuttujan tapauksessa olla derivaatan (gradientin) nollakohdat () tai reunapisteet. Yhden muuttujan tapauksessa kriittisen pisteen tyypin voi määritellä toisesta derivaatasta:
Monen muuttujan tapauksessa luokittelu hoituu kyseisessä pisteessä lasketun Hessian-matriisin ominaisarvojen () avulla:
Jos ääriarvotehtävässä vastauksiksi kelpaa vain osa kriittisistä pisteistä, voidaan tehtävä ratkaista muotoilemalla rajoitusfunktio ja minimoimalla/maksimoimalla alkuperäisen sijaan Lagrangen funktio...
...missä on nimeltään Lagrangen kerroin. Jos rajoituksia on enemmän, myös kertoimia ja rajoitusfunktioita voidaan ottaa mukaan enemmän. Esim:
Vektorikenttä (tai esim. voima) on konservatiivinen, jos sillä on potentiaalikenttä (kaikilla vektorikentillä ei ole). Integraalin tapaan potentiaali ei ole yksikäsitteinen, vaan siihen voi lisätä mielivaltaisen vakion. Konservatiiviselle vektorikentälle pätee:
Tai toisaalta: . Jos kenttä on konservatiivinen, potentiaalin voi laskea seuraavasti:
(lopuksi ilmeisesti voi merkitä ja lisätä integrointivakion C)
Viivaintegraali on viivan differentiaalisten tangenttivektorien () ja kentän tulon summa. Skalaarikentän tapauksessa tulo ja vektorikentän tapauksessa .
Viivaintegraali lasketaan parametrisoimalla :n -komponentin, derivoimalla ne :n suhteen, ottamalla tulo (piste- tai skalaari) ja integroimalla. Esim:
Joskus vektorikentän yli viivaintegraalia merkitään , mikä tarkoittaa samaa kuin ja se lasketaan samalla tavalla parametrisoidun :n ja :n pistetulona kuin yllä.
Tyypillinen esimerkki viivaintegraalista vektorinkentän yli on fysikaalinen työ, jonka voima tekee kuljettaessaan pistemäistä kappaletta käyrää pitkin.
Tasolla suljetun käyrän viivaintegraalin voi joskus laskea helpommin seuraavasti:
...missä on käyrän sisään jäävä alue ja käydään läpi vastapäivään. Oikea puoli on siis pinta-integraali, jossa lasketaan ensin vaakasuuntainen integraali ja sitten pystysuuntainen (tai päinvastoin). Jos on reikäinen, lasketaan reikien seintän mukaan, mutta myötäpäivään.
Stokesin lause on Greenin lauseen laajennus moniulotteisille pinnoille:
Kentille voidaan määritellä kolme eri “derivaattaa”, joista jokainen on eri kerto-operaattorin ja nabla-operaattorin “formaali tulo”:
Gradientti on vektorikenttä, joka osoittaa skalaarikentän nopeimman kasvun suunnan (kasvunopeus on k.o. vektorin pituus):
Divergenssi on skalaarikenttä, joka kertoo kuinka paljon toinen vektorikenttä “etääntyy pisteestä ” eli tarkemmin sanottuna vuo äärettömän pienen -keskisen pallon (tasossa kiekon) sisältä:
Divergenssin voi siis myös tulkita lähteen (esim. pistevarausten tapauksessa Diracin delta-funktio tai jatkvassa tapauksessa varaustiheys) voimakkuudeksi yksikkötilavuutta kohti.
Curl (karmeasti suomennettuna roottori) on vektorikenttä, joka kertoo kuinka paljon kenttä “pyörii pisteen ympäri” eli tarkemmin sanottuna kiekon reunan muodostavien äärettömän monen tangenttivektorin () ja vektorikentän vektorien pistetulo kerrottuna kiekon () yksikkönormaalilla ():
Näille pätee kaikenlaisia yhtälöitä, mm.:
Vuo jonkin alueen D pinnan S läpi on yhtä suuri kuin kaikkien sen pisteiden divergenssien summa (=tilavuusintegraali):
Erityisesti: jos suljetun pinnan sisällä ei ole yhtään lähdettä (positiivista tai negatiivista, source tai sink), on kokonaisvuo sen läpi 0 kentästä riippumatta (mikä tulee sisään, menee myös ulos). Huomaa, että esim. pistevarausten tapauksessa lähteet ovat pistemäisiä Diracin delta-funktioita, joiden integraalilla on arvo vaikka niitä ympäröivä kiekko pienennettäisiin kuinka pieneksi tahansa.
Variaatioita (”curl-lause” ja ”gradienttilause”??), joiden tulos on vektori:
polaariesitys: (Eulerin kaava, muistisääntö: )
ja
liittoluku eli konjugaatti on . Sille pätee:
, , ,
kertolasku: =
jakolasku: =
. Huom. erityisesti:
:s juuri:
Arvoja on siis kappaletta ja ne sijaitsevat tasaisin välein -säteisellä ympyrällä.
Suljetun polun viivaintegraalin laskemiseen on kasa erilaisia sääntöjä, joista residuaalimenetelmä vaikuttaa erityisen hyödylliseltä. Kun polku ei leikkaa itseään ja on positiivisesti orientoitu ja on polun sisällä muuten analyyttinen, mutta :ssa pisteessä on singulaarinen napa (eng. pole), pätee Cauchyn residuaalilause:
Jos polku on negatiivisesti orientoitu, lasketaan residuaalit negatiivisina. Huom: jos singulariteettejä ei ole, on integraali .
= algebrallisia rakenteita (eli alkioiden ja niihin kohdistuvien operaatioiden yhdistelmiä) aksiomaattisesti (eli pieneen määrään perusoletuksia nojaavasti) käsittelevä oppi.
Joukon ja siihen vaikuttavan jonkin operaation yhdistelmä, , on nimeltään:
monoidi, jos lisäksi on olemassa neutraalialkio , jolle
ryhmä (group), jos lisäksi kaikille alkioille on käänteisalkio:
Jos on äärellinen niin välttämättä ”pyörähtää ympäri” (kongruenssin tapaan) koska kaikille . Esim. ryhmässä ({0,2,4}, +) on mutta .
Lisää määritelmiä ja lauseita:
alkion potenssi yhteensä kertaa.
syklinen ryhmä on ryhmä, jonka kaikki alkiot ovat jonkin sen alkion potensseja. Kyseinen alkio virittää ryhmän (generates the group) ja merkitään . Viritetyn (usein ali-)ryhmän suuruus eli alkion kertaluku on .
Esimerkki: syklinen ryhmä , virittäjänä , on isomorfinen :n kanssa kun määritellään: :
ja aliryhmät :
Joukon ja sen kahden operaation ja yhdistelmä, , on algebrallinen rengas, jos:
Lisäksi:
Yksikkö (unit) on alkio , jolla on jokin käänteisalkio (missä ).
Huom: “yksikkö” “ykkösalkio” (:n neutraalialkio, unity)
Kaikki :n alirenkaat ovat ideaaleja ja niiden alkiot ovat muotoa .
Tästä johtuu: .
Jos on rengas (vaika -kunta, tai äärellinen -rengas tai vaikka matriisirengas):
Eri polynomirakenteiden määrä voidaan rajata (tavallisesti äärettömästä :stä) äärelliseksi kongruenssilla: valitaan jokin polynomi ja määrätään, että kaikkien renkaan operaatioiden tuloksesta otetaan lopuksi jakojäännös :llä. Merkitään: . Jos on redusoituva, tulos on rengas ja jos taas redusoimaton niin kunta. Esim. polynomikunnan operaatiot ovat:
ja
Jos on ääretön, on tietysti myös ääretön vaikka eri polynomimuotoja onkin rajallisesti. Esim. on isomorfinen :n kanssa.
Boolen algebran (symbolien jonoista sekä operaatioista koottu logiikka-algebra) sovellus: siirretään -bittisiä viestejä () häiriöisellä linjalla, joka voi aiheuttaa mihin tahansa siirrettävään bittiin virheen (ts. ) todennäköisyydellä , bitin sijainnista ja alkuperäisestä arvosta riipumatta.
Virherakenne :ssä on niissä kohdissa joissa siirretyssä viestissä on virhe ja niissä, joissa bitti siirtyi oikein. Kun =virhebittien (-bittien) määrä eli virheen paino:
Kun viestejä välitetään käyttäen joukkoa koodisanoja, kaikki painoa olevat virheet voidaan:
Koodauksen generoiva matriisi on jolla oikealta kertominen tuottaa viestisanoista koodisanat: (missä on -vaakavektorina esitetty viesti ja on -vektorina esitetty koodisana). Esim: eräs -koodaus:
Toistopermutaatioiden määrä = “monellako toisistaan erottuvalla tavalla voidaan järjestää kpl. :sta eri luokasta valittua alkiota, kun luokasta 1 valitaan kpl, luokasta 2 valitaan jne.” =
(missä siis )
”:n eri alkion mahdollisten luokittelujen määrä :hon luokkaan jaettaessa kun osa luokista saa olla tyhjiä“ =
“:sta eri merkistä koottujen :n pituisten merkkijonojen pituus“ =
Yhtälön ratkaisujen määrä, kun =
“Monellako tapaa voidaan järjestää pallon ja erottimen muodostama jono” =
“Monellako tavalla voidaan valita pallojen paikat” =
“Monellako tavalla voidaan valita erotinten paikat” = .
Esim:
“Monellako tavalla 7 eri henkilöä voi valita 4:stä eri ruokalajista?“ =
“Montako ratkaisua on positiivisella kokonaislukuyhtälöllä ?”=
“Monellako (erottuvalla) tavalla voidaan järjestää jono '|||ooooooo'?” =
Inkluusio-ekskluusio-periaatteella lasketaan osittain päällekkäisiä ehtoja täyttävien alkioiden / tapausten määriä: ensin päällekäisten joukkojen koot lasketaan yhteen ja sitten tuloksesta vähennetään niille yhteisten alkioiden määrä (ettei sitä oteta mukaan kahteen kertaan). Ongelmia kannattaa visualisoida Venn-diagrammilla. Merkintätapoja:
Joukko , jonka koko , koostuu alkioista, jotka toteuttavat kukin joitain (tai vaikka kaikki tai ei yhtään) :stä eri ehdosta (esim. esinettä ja 4 ehtoa: =“alkio on pallo“, =“alkio on vihreä“, ”alkio on sininen“, =”alkio on painava” jne). Vähintään yhden ehdoista toteuttavien alkioiden määrää merkitään ja niitä, jotka eivät toteuta niistä mitään (mutta voivat toteuttaa jotain muita!) merkitään .
Ei yhtään ehtoa täyttäviä alkioita on:
Yleisesti: tasan ehtoa täyttäviä alkioita on:
Binomilause määrää termien kertoimet kun binomi kerrotaan auki polynomiksi:
Kerroin :nnen asteen :lle on siis n:n k-kombinaatio. Binomikertoimia kuvataan usein Pascalin kolmiolla, jonka jokainen reuna-alkio on 1 ja jokainen sisäalkio aina kahden heti sen yläpuolella olevan alkion summa. Multinomilause yleistää tuloksen:
Tulossa , termin kerroin on
Joskus tarvitaan “binomikertoimia“, joissa tai : yleistetyt binomikertoimet:
...tai jos :n tilalla onkin negatiivinen kokonaisluku () eikä desimaaliluku, niin:
Emäfunktiolla voi ratkaista mekaanisesti erilaisia kombinatorisia tehtäviä (“montako erilaista / monellako tavalla“ ja jopa “luettele kaikki“ eli enumerointi) esittämällä jonot polynomeina. Algebrallisen pyörityksen jälkeen tulos katsotaan suoraan polynomin halutun asteisteisten termien kertoimista eikä itse polynomiin sijoiteta mitään!
Esim. (tavallinen emäfunktio): ”Montako positiivista kokonaislukuratkaisua on yhtälöllä , kun ja ?” Tämä ratkeaa kertomalla auki polynomi (tavallinen emäfunktio)...
...ja ottamalla siitä :n kerroin (14). Muuttujan potenssit esittävät :n, :n ja :n arvoja ja niiden kertoimet (, tässä tapauksessa 1 kaikille mainituille ja muille 0) merkitsevät “monellako tavalla kyseinen arvo voi tulla valituksi kyseiselle muuttujalle”. Ym. lauseen voi siis lukea tulkitsemalla =“tai“, =“ja“ (kuten Boolen algebrassa): “jos (a=4 tai a=5 tai ...) ja (b=2 tai b=3 tai ..) ja ...“. Auki kerrottu polynomi esittää näiden eri kombinaatioita ja siitä näkee myös, että esim. ratkaisuja olisi 16 kpl.
Polynomien kertominen keskenään on työlästä, joten laskemisessa hyödyllisiä ovat potenssisarjojen laskusäännöt (Huom: suppenevuusehdoilla ei tässä ole mitään väliä, koska :ään ei oikeasti sijoiteta mitään):
A) äärettömät jonot (sarjat):
B) äärelliset jonot:
C) (permutaatioiden laskemista varten) eksponenttifunktiot:
Epäsäännöllisempiä sarjoja voi esittää laskemalla eri emäfunktioita yhteen tai vähentämällä yksittäisiä termejä, esim. .
Ongelmassa esiintyvät jonot kirjoitetaan ensin emäfunktioiksi (eli ”siirrytään taulukossa oikealta vasemmalle”), sievennetään sitten niiden yhdistelmä (esim. summa) ja muutetaan tulos sitten takaisin sarjamuotoon (ts. “taulukossa takaisin vasemmalta oikealle”). Menettely muistuttaa siis hieman Laplace-muunnoksen käyttöä ja myös emäfunktioissa “käänteismuunnos” vaatii usein osamurtokehitelmää (esimerkki differenssiyhtälöt-kappaleen lopussa).
Joitain generoivia funktioita (Huom! nämä siis määrittelevät lukujonoja, eivätkä annan itse määriä!):
Tornipolynomi generoi :n kaikille . Esim:
(tarkoittaa: 1 tapaa asettaa 0 tornia, 6 tapaa 1 torni, 8 tapaa 2 ja 2 tapaa 3 tornia)
Jos kiellettyjä ruutuja on vähemmän kuin sallittuja, voidaan laskea käänteisen (vaihdetaan kielletytsallitut) laudan polynomi ja solveltaa inkluusio-ekskluusio-kaavaa:
(MUTTA: miten saa :n mielivaltaiselle eikä vain tapaukselle ??)
Jos lauta koostuu erillisistä osista (ts. ei yhteisiä rivejä eikä sarakkeita), on koko laudan polynomi sen erillisten osien polynomien tulo:
Lautaa voidaana jakaa kahdella tekniikalla vaikka erillisiä osia ei heti näkyisikään:
valitsemalla yksi rutuu jostain strategisesta paikasta ja laskemalla yhteen tapaukset, joissa siinä a) on nappula [poistetaan myös kaikki sen uhkaamat ruudut] tai b) ei ole nappulaa [poistetaan vain kyseinen ruutu]
Esimerkki: Johdetaan ym. :n tornipolynomi ilman käänteisen laudan temppua, sijoittamalla kokeeksi nappula vasemmalle ylös laudanjakotekniikan 2 mukaisesti:
(...eli rekurrenssiyhtälöt eli palautuskaavat)
Ratkaisukaavoja:
Ensimmäisen kertaluvun vakiokertoimisen, lineaarisen ja homogeenisen yhtälön eli
(tai ) yleinen ratkaisu on (kun ). Huom: .
Toisen kertaluvun vakiokertoiminen, lineaarinen ja homogeeninen yhtälö (kuten Fibonaccin luvut) eli (missä ) ratkeaa sijoittamalla :n tilalle yritefunktioksi ensimmäisen kertaluvun ratkaisu :
Tämä on karakteristinen polynomi ja rekursion ratkaisu riippuu sen juurista ja lineaarikombinaatiolla:
Sama konsti toimii korkeammankin kertaluvun yhtälöille, mutta polynomin ratkaisu menee turhan hankalaksi.
Epähomogeenisten versioiden ratkaisut saa kaavasta eli homogeenisen version yleinen ratkaisu + epähomogeenisen jokin yksittäisratkaisu. Jos epähomogeeninen osa sattuu olemaan muotoa , niin:
Ensimmäinen kertaluku (eli ):
Toinen kertaluku:
Ideana on etsiä ensin rekursiota esittävä emäfunktio suljetussa muodossa (potenssisarjojen laskusäännöillä) ja sitten etsiä toiseen suuntaan sitä vastaava sarja.
Esimerkki: “Mikä on sarjan :s alkio?”
Esitetään molemmat puolet :n avulla (siten, ettei yhtään :ää jää jäljelle). Aloitetaan kertomalla :llä ja summataan sitten yli.
Ratkaistaan :n suhteen:
Etsitään saadulle emäfunktiolle sarjaesitys. Käytetään osamurtokehitelmää (Heaviside) ja potenssisarjojen laskusääntöjä:
Viimeisestä summasta nähdään suoraan, että emäfunktion sarjaesityksen :s kerroin, eli alkuperäisen sarjan , on .
Tulkitaan geometrisen objektin (esim. neliön) eri värisiksi värjättyjen kärkien kiertoja ja peilauksia/3D-rotaatiota (eli liikeryhmää) permutaatioina ja lasketaan montako erinäköistä objektia voidaan tehdä jos niitä saadaan pyöritellä vapaasti. Määritelmiä:
Kun merkitään kärkien eri väritystapoja (konfiguraatioita) :llä (neliön ja kahden värin tapauksessa niitä on yhteensä kpl: ) ja permutaatioita :llä (neliön tapauksessa 8 kpl, kun lasketaan erilaiset kierrot ja peilaukset: , missä = kierto = ”ei muutosta”), niin:
Burnsiden lemma: = ekvivalenssiluokkien määrä, kun = “:tä sovellettaessa muuttumattomien konfiguraatioiden määrä”.
Esimerkki: “monellako tavalla 6 ihmistä voi sijoittaa pyöreän pöydän ympärille?”. kierto, kun . Erilaisia konfiguraatioita pyörittämättömälle pöydälle on , joten ja koska kukaan ei pysy paikallaan vähänkään pyöritettäessä, . Vastaus: . (Yleisesti: syklinen järjestys voidaan valita tavalla.)
Sykli-indeksi helpottaa laskemista: :n sykli-indeksiesitys on , :n esitys on ja esim. :n on . Sykli–indeksi...
...antaa :n eri värin värityksen ekvivalenssiluokkien määrän sijoituksella .
Polyan lause: kun on käytettävissä eri väriä, erilaisten väritysten inventaariolle, eli eri kombinaatioiden määrien luetteloinnille, saadaan emäfunktio sijoituksella...
...missä on väriä esittävä muuttuja. Huom: :n ei sijoiteta mitään vaan tulos katsotaan kertoimista, koska kyseessä on emäfunktio.
Esim.: “Montako eri tapaa on värittää 3-lapainen potkuri kun väreinä on r,g ja b?” Permutaatioryhmä eli kierrot , ja , joiden sykli-indeksiesitykset ovat ja . Inventaario-emäfunktio saadaan siis seuraavasti:
Polynomista nähdään, että on 2 eri tapaa (termi ) kun käytetään kaikkia kolmea väriä (ja 1 tapa kaikilla muilla värikombinaatioilla). Termien kertoimia voi usein laskea multinomilauseen avulla kertomatta koko polynomia auki.
Suurin yhteinen tekijä (syt tai gcd, Greatest Common Denominator) merkitään tai ja on suurin luku , joka jakaa kaikki eli . Kahdelle muuttujalle voidaan merkitä myös , missä .
S.y.t löytyy Euklideen algoritmilla: jaetaan joka askeleella jäljellä oleva luku edellisen askeleen jakojäännöksellä ja lopetetaan kun jäännöksestä tulee 0. Viimeinen ei-nolla jäännös on s.y.t. Algoritmi toimii myös useammalle kuin kahdelle luvulle, sillä . Esim. :
Lineaarikombinaatioesityksen kertoimet ja (ja sen avulla Diophanteen yhtälön ratkaisun) löytää tästä peruuttamalla. Aluksi ratkaistaan ketjun toiseksi viimeinen rivi jakojäännöksen suhteen, sitten ratkaistaan edellinen rivi samalla tavalla, yhdistetään ne ja supistetaan, ratkaistaan kolmanneksi viimeinen rivi ja jatketaan samaan tapaan alkuun asti:
Pienin yhteinen jaettava (pyj tai lcm, Least Common Multiple) merkitään tai ja on pienin luku, jonka kaikki jakavat eli li .
Diophanteen yhtälö on yhtälö, jonka ratkaisuksi sallitaan vain kokonaislukja. Lineaarinen kahden muuttujan versio: , jossa .
Yksittäisratkaisun jälkeen yleisen ratkaisun saa kaavalla
...missä ja tarkoittavat s.y.t:llä jaettuja versioita kertoimista. Huom! :n kohdalla on ja :n kohdalla eikä päinvastoin!
Yksittäisratkaisun saa mekaanisesti ratkomalla Euklideen algoritmin jälkeen peruutuksella :n ja :n yhtälöstä ja kertomalla ne sitten :llä. Esim: ratkaistaan :
Eulerin fii-funktio on alkioiden , joille , eli :ää pienempien suhteellisten alkulukujen, määrä. Sääntöjä:
Luvun hajottaminen alkutekijöihin on erittäin raskas operaatio. Huomioita:
Millerin testi: pariton ei ole alkuluku jos, kun on pariton, joko:
Avaimien luonti: valitaan kaksi alkulukua ja lasketaan niiden tulo .
Hamiltonin polulle/kierrokselle ei ole yksikäsitteistä olemassaololausetta, mutta:
Seuraavat klassiset graafialgoritmit ovat ns. ahneita algoritmeja:
Graafin täydellinen sovitus on sellainen, jossa jokaisesta :n kärjestä lähtee sivu ja sellainen on olemassa joss kaikille (eli ). Täydellisen sovituksen etsimiseen on olemassa useita ns. polunlaajennusalgoritmeja. Tässä eräs:
Käydään läpi kaikki kärjet :
Jos :lle ei ole jo valittu esittäjäsivua:
Käydään läpi :ään yhdistetyt kärjet jotka eivät jo kuulu sovitukseen:
Jos löytyy :hyn yhdistetty kärki joka ei jo kuulu sovitukseen:
Lisätään sivu sovitukseen ja palataan uloimpaan silmukkaan
Induktioaskel: osoitetaan, että jos induktiohypoteesi (tai -oletus) on tosi, myös on tosi sijoittamalla :n toinen puoli :n sisään ja pyörittelemällä algebrallisesti. Esim.
Esim. toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan johtaminen:
Jokaiselle rationaalifunktiolle ( on alempaa astetta kuin ) voi muodostaa osamurtokehitelmän missä termit ovat muotoa tai ja ja (jos sallitaan , jälkimmäistä muotoa ei tarvita). Kehitelmästä on hyötyä varsinkin integroinnissa.
Aluksi faktoroidaan nimittäjä ensimmäisen tai toisen asteen termeihin kaavalla (tai sen suoraviivaisella laajennuksella korkeamman asteen polynomeille). Hajotelman termit määräytyvät saatujen tekijöiden mukaan – tapauksia on kolme:
reaalinen (), ei-toistuva juurilineaarinen nimittäjä, vakioarvoinen osoittaja:
imaginäärinen juuri toisen asteen nimittäjä, lineaarinen osoittaja:
-kertainen juuri termiä, joissa nimittäjän aste laskee:
Hajotelman termien osoittajiin tulevat vakiot () eli residyt (eng. residue) voidaan lasskea monella tavalla. Seuraavat kolme tapaa on esitetty kahden eri suuren, reaalisen juuren avulla (ts. ), mutta ne toimivat myös korkeamman asteen tapauksissa (ts. ). Heavisiden menetelmää lukuunottamatta ne toimivat myös moninkertaisille ja epälineaarisille tapauksille.
Lavennetaan osamurrot samannimisiksi alkuperäisen kanssa, eliminoidaan nimittäjät ja ratkaistaan osoittajista muodostuvan polynomin tuntemattomat () valitsemalla aina siten, että se hävittää kerrallaan yhden muuttujista:
Valitaan strategisesti :
Sama temppu B:lle: :
Eli:
Etsitään murtofunktiota vastaava yhtälö kuten tavassa 1 ja ryhmitellään se :n polynomiksi (tässä esimerkin vuoksi toisen asteen, vaikka ensimmäisen asteenkin riittäisi):
Sitten tehdään :n eri asteisista termeistä (vakiot, :t, :t yms) lineaarinen yhtälöryhmä:
Ratkaistaan saatu lineaarinen yhtälöryhmä (esimerkkinä näytetty turha on poistettu):
Heavisiden menetelmä on helppo, mutta ei toimi moninkertaisten () eikä epälineaaristen () termien kanssa. Murtofunktiota ei tarvitse vääntää yhtälöksi kuten edellisissä tavoissa:
Pyyhitään vain aina yksi tekijä pois nimittäjästä ja sijoitetaan sen nollaamiseen tarvittava vakio jäljelle jääneeseen kaavaan :n tilalle. Poistettua tekijää vastaava residy saadaan suoraan:
Summa, erotus, tulo ja osamäärä ovat triviaaleja:
jotain ei-määrättyä arvoa lähestyvän raja-arvon saa yleensä joko faktoroimalla polynomeja juuriensa avulla tai viimeistäänkin muuttamalla laskun raja-arvoksi äärettömyydessä:
tai
.
(Roomalaisten kirjainten kanssa yhteiset merkit harmaalla, etsimisen helpottamiseksi.)
alfa | nyy | ||||||
beeta | ksii | ||||||
gamma | omikron | ||||||
delta | pii | ||||||
epsilon | rhoo | ||||||
zeeta | sigma | ||||||
eeta | tau | ||||||
theeta | ypsilon | ||||||
ioota | fii | ||||||
kappa | khii | ||||||
lambda | psii | ||||||
myy | omega |
ääriarvopisteiden luokittelu 22
ääriarvotehtävä
monen muuttujan 22
rajoitettu 22
2. asteen yhtälön ratkaisukaava 45
abelin ryhmä 27
affininen 13
affiniteetti 13
ahne algoritmi 43
aika-alue 18
algebra 27
alideterminanttikehitelmä 9
alirangas 28
alirengas
ideaali 28
aliryhmä 27
triviaali 27
alkuarvo-ongelma 15
alkuluku 39
pseudo- 41
vahva 41
suuri 41
alkulukuja
suhteellinen 39
alkulukukaksoset 41
analyyttinen 26
argumentti (kompleksiluvun) 26
aritmetiikan peruslause 39
aste
kärjen 42
lähtö- 42
tulo- 42
attraktiivisesti stabiili 17
avaruuspinta 21
Bellin luvut 31
binomikertoimet 32
yleistetyt 32
binomilause 32
bipartite graph 43
blokkikoodaus 30
Burnsiden lemma 37
Caleyn lause 37
Carmichaelin luku 41
Catalanin luvut 34
Cauchyn residuaalilause 27
Cauchyn tulo 20
Cauchy-Riemann 26
conformal mapping 26
curl 24
determinantti 8
Wronskian 16
diagonaali (matriisin) 6
diagonalisoituvuus 9
differenssiyhtälö 35
differentiaali 14
matriisilausekkeen 7
monen muttujan funktion 21
osittais- 15
differentiaaliyhtälö
1. kertaluvun lineearinen 16
eksakti 16
eksaktiksi muuttaminen 16
eksplisiittinen 15
linearisointi 18
-ryhmä, 1. asteen lin. homog. 17
separoituva 15
tasa-asteinen (homogenous) 15
tavallinen 15
tavallinen 2. asteen 17
differentiointi 14
Dijkstran minimipolkualgoritmi 43
dimensio (avaruuden) 6
Diophanteen yhtälö 40
distribuutiosäännöt 28
divergenssi 24
divergenssilause 24
ekvivalenssiluokka
kongruenssi 40
permutaatioryhmän 37
ekvivalentti koodaus 30
emäfunktio 32
eksponentiaalinen 33
tavallinen 32
enumerointi 32
epästabiili piste 17
erillisten syklien tulo 37
esittäjäsysteemi 43
Euklideen algoritmi 40
Eulerin
fii-funktio 41
kierros 42
lause 41
polku 42
Fermat'n pieni lause 41
Fibonaccin luvut 34
field 28
Fii-funktio 41
flux 23
Fourier-kosinisarja 20
Fourier-sarja 20
Fourier-sinisarja 21
fundamentaalikunta 30
funktioavaruus 6
Galois-kunta 30
Gaussin eliminaatio 8
Gaussin laki 24
Gauss-Jordan 7
gcd 39
generoiva funktio 32
generoiva matriisi 30
graafi 42
algoritmeja painotetuille 43
kaksijakoinen 43
komplementti 42
lineaarinen 42
multi- 42
painotettu 43
täydellinen 42
taso- 42
yhtenäinen 42
yksinkertainen 42
Gram-Smidth ortonormalisointi 9
Greenin lause 23
group 27
hajaantuminen 19
Hamiltonin kierros 42
Hamiltonin polku 42
Hamming-etäisyys 30
Hammingin matriisi 31
Hamming-koodaus 30
harmoninen (skalaarikenttä) 24
Heavisiden menetelmä 47
Hessian 22
homogeeniset koordinaatit 12
homomorfismi 27
rengas- 29
ideaalipiste 12
ideaalisuora 12
ideaalitaso 12
induktio
-askel 44
-hypoteesi 44
perusta 44
-todistus 44
Inkluusio-ekskluusio-periaate 32
integral domain 28
integroiva tekijä 16
inventaario 39
isocline 16
isomorfinen
graafi 42
isomorfismi 27
rengas- 29
jäännösluokka 40
Jacobian-matriisi 14
jaollisuus 39
-sääntöjä 39
johtokerroin 29
käänteisluokka 40
kärjen aste 42
ratkaisun (ODE) 16
kantaluku (logaritmin) 47
kantaluvun vaihto 47
karakteristinen polynomi
rekursion 36
karakteristinen polynomi (matriisin) 9
karasteristika (renkaan) 29
kertaluku
alkion 28
differentiaaliyhtälön 15
rekursion 35
ryhmän 27
ketjusääntö
monen muuttujan 15
kierros 42
kiintopiste 37
Kleinin ryhmä 28
kokonaisalue 28
kokonaisluvut 48
kombinaatio 31
kombinatoriikka 31
kommutatiivinen 27
kompleksiluku 26
kompleksiluvut 48
kompleksinen funktio 26
konfiguraatio
graafin 42
kongruenssi 40
-luokka 40
-yhtälö 40
konjugaatti 26
konservatiivinen vektorikenttä 23
koodisana 30
kooditeoria 30
korkea potenssi 40
kreikkalaiset kirjaimet 49
Kruskalin algoritmi 43
kunta 28
fundamentaali- 30
Galois- 30
Kuratowskin lause 42
kuvaus 12
affini 13
lineaari- 12
kyyhkyslakkaperiaate 31
lähde 24
lähtöaste 42
Lagrangen funktio 22
Lagrangen kerroin 22
Lagrangen lause 28
Laplace-muunnos 18
laplace-yhtälö 24
laplacian 24
lcm 40
least squares fit 13
Leibnizin lause 19
liikeryhmä 36
liittoluku 26
lineaarialgebra 6
lineaarialgebran aksioomat 6
lineaarikombinaatio 6
lineaarinen riippumattomuus (funktioiden) 16
linearisaatio 14
linearisointi 18
logaritmi
laskusääntöjä 47
luonnolliset luvut 48
Markovin ketju 13
matriisi
derivaatta 10
eksponentti 10
generoiva 30
normalisoitu 30
Hessian 22
Jacobian 14
käänteis- 7
ortogonaalinen 6
-rengas 29
säännöllinen 6
singulaarinen 6
stokastinen 14
tarkistus- 30
tulo 6
matriisifunktiot 10
metsä 42
Millerin testi 41
moduli (kompleksiluvun) 26
monoidi 27
multigraafi 42
multinomikertoimet 32
multinomilause 32
naapurisolmu 42
nabla 24
napa 26
napakoordinaatisto 22
neliöksi täydentäminen 44
neutraalialkio 27
nollapolynomi 29
nollatekijä
aito 28
normi (matriisin) 6
nullcline 16
numerus 47
ODE 15
ominaisarvo 9
ominaisvektori 9
order 27
oribitaalisesti stabiili 18
ortonormaali 9
ortonormalisointi 9
ortonormeerattu 6
osittaisderivaatta 21
osittaisdifferentiaali 15
ositus 34
pääarvo (kompleksiluvun) 26
painopiste 11
palautuskaava 35
parillinen funktio 20
pariton funktio 20
Pascalin kolmio 32
peräkkäiset sijoitukset 8
permutaatio 31
erilliset esittäjät 37
matriisiesitys 37
-ryhmä 37
toisto- 31
permutaatioryhmä 36
Picardin iteraatio 17
Picardin lause 17
pienimmän neliösumman sovitus 13
pienin yhteinen jaettava 40
pistetulo 10
polaariesitys (kompleksiluvun) 26
pole 26
polku 42
Polyan lause 37
polynomitulo
normeerattu 29
positiivisesti orientoitu 26
potenssi 27
korkea 40
potenssisarja 20
laskusäännöt 34
potentiaali 22
-vektori 23
Primin algoritmi 43
projektiivinen avaruus 12
projektiivinen taso 12
projektio 12
ortogonaalinen 12
-säde 12
-taso 12
yhdensuuntais 12
pseudoalkuluku 41
puoliryhmä 27
puu 42
pyj 40
Rabinin todennäköisyystesti 41
raja-arvo
laskusääntöjä 48
monen muuttujan 21
rangi 6
rank 6
rankki 6
rata 37
rationaaliluvut 48
reaaliluvut 48
redusoimattomuus 29
suhteellinen 29
redusoituvuus 29
rekurrenssiyhtälö 35
rekursio 35
rengas 28
kommutatiivinen 28
matriisi- 29
polynomi- 29
rengashomomorfismi 29
residue 45
residy 45
reuna-arvo-ongelma 15
ring 28
ristioperaattori 11
ristitulo 11
-matriisi 11
rook polynomial 34
roottori 24
RSA-salakirjoitus 42
ryhmä 27
Kleinin 28
syklinen 27
ryhmäkoodi 30
säännöllisyysaste 6
Fourier- 20
harmoninen 20
potenssi- 20
Taylorin 20
semigroup 27
silmukka 42
similaarisuus 10
similariteettimuunnos 9
sink 26
sisätulo 11
skalaarikenttä 22
harmoninen 24
skalaarikolmitulo 11
skalaaritulo 10
source 24
sovitus
kaksijakoisen graafin 43
stabiili piste 17
stabilisaattori 37
s-taso 19
Stokesin lause 24
Strilingin luvut, 2. lajin 31
sulkeuma 42
suora 11
ideaali- 12
normaalimuoto 11
painopistekoordinaatit 11
parametrimuoto 11
-parvi 11
-viuhka 11
suora tulo 27
absoluuttinen 19
ehdollinen 19
testaus 19
suppenemisintervalli 20
suppenemiskeskus 20
suuntakenttä 16
suurin yhteinen tekijä 39
sykli-indeksi 37
syklinen järjestys 37
syklinen ryhmä 27
symmetrinen ryhmä 37
syndrooma 30
systemaattinen 30
syt 39
täydellinen sovitus 43
tarkistusmatriisi 30
tasa-arvokäyrä 16
tasapainopiste 17
taso 11
ideaali- 12
normaalimuoto 11
painopistekoordinaatit 11
parametrimuoto 11
projektiivinen 12
Taylorin sarja 20
tehosuhde (koodauksen) 30
tetraedri 12
toistopermutaatio 31
transformaatio 12
transpoosi 6
tulo
Cauchyn 20
formaali 24
matriisi- 7
piste-/skalaari-/sisä- 10
polynomi- 30
risti- 11
skalaarikolmi- 11
suora 27
vektori- 10
tuloaste 42
työ 23
ulottuvuus (osajoukon) 43
unkarilainen algoritmi 44
väärinjärjestys 31
vahva pseudoalkuluku 41
vaihekulma 26
vaje 43
vakiotermi 29
vasta-alkio 27
vektorikenttä 22
konservatiivinen 23
vektoripotentiaali 22
suljetun käyrän) 24
virheen paino 30
virherakenne 30
virittää (ryhmä) 27
vuo 23
Wilsonin lause 40
Wronskian-determinantti 16
ydin 12
ydin (lineaarikuvauksen) 6
yhdensuuntaissärmiö 13
yhdistetty solmu 42
ykkösalkio 28
yksikkö 28
ylimäärätty yhtälöryhmä 13
yritefunktio 35